Definición, tipos y propiedades

Un triángulo es una figura plana formada por tres rectas a las que se les llama lados. Cada par de lados forman un ángulo, la suma de los tres ángulos del triángulo es 180°.

En un triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos lados y mayor que la diferencia.

Clasificación: un triángulo escaleno tiene todos sus lados y ángulos desiguales, el equilátero los tiene todos iguales, y el isósceles tiene dos lados y dos ángulos iguales.

Respecto a los ángulos, los triángulos se clasifican en acutángulos si sus tres ángulos son agudos (menores de 90°), son rectángulos cuando tienen un ángulo recto (de 90°) y son obtusángulos cuando uno de sus ángulos es obtuso (que quiere decir que tiene un ángulo mayor de 90°).

Elementos de un triángulo:

La mediatriz es la recta perpendicular en el punto medio del lado del triángulo. Las tres mediatrices del triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro.

La mediana de cada lado es la recta que une un vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas del triángulo se cortan en un punto de intersección llamado baricentro.

La bisectriz de un ángulo es la recta que divide al mismo en dos partes iguales. La intersección de las tres bisectrices del triángulo es un punto llamado incentro.

La altura de un triángulo es la recta perpendicular desde un vértice del triángulo al lado opuesto. La intersección de las tres alturas del triángulo es un punto llamado ortocentro.

Un triángulo genérico o escaleno es aquel que tiene los tres lados y ángulos desiguales.

Para calcular un triángulo dados dos lados ab y un ángulo adyacente g a uno de ellos, se prolonga el lado del ángulo no adyacente hasta que corte al arco que define el otro lado b, tomando como centro N de ese arco el punto de intersección de los extremos de los cementos lados a b. El ejercicio tiene dos soluciones ya que la prolongación del lado que hay que calcular por el punto M intercepta a la circunferencia en dos puntos P O, que son los dos posibles vértices de los nuevos triángulos.

Para calcular un triángulo cualquiera dados sus dos lados a b y el ángulo g comprendido entre ellos basta con unir los extremos de los segmentos dados obteniendo el nuevo lado c del triángulo.

Para construir un triángulo escaleno dados un lado a y los dos ángulos adyacentes, se prolongan éstos hasta que se cortan en un punto P obteniendo de esta forma el triángulo.

Para calcular un triángulo cualquiera dados sus tres lados abc, a partir de los extremos PS de uno de los lados a colocamos los otros dos bc y haciendo centro en los extremos PS y tomando como radio la dimensión a b de los mismos hacemos dos arcos hasta que se corten en un punto Ñ que es el vértice del triángulo.

Teorema: si inscribimos un triángulo cualquiera en una circunferencia y calculamos su ortocentro, los puntos simétricos del ortocentro respecto a cada uno de los lados del triángulo son siempre tres puntos que están sobre la circunferencia circunscrita.

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Simétricos del ortocentro

Construir un triángulo dadas dos alturas y un lado del mismo

Nos dan las dos alturas que son los dos segmentos verticales verde y marrón, y nos dan
el lado del triángulo que es la base del mismo de color naranja.

Las alturas las denomino g i, de 6 y 5 unidades , mientras que el lado de la base se le
llama f  y tiene 8 unidades.

Hacemos por el extremo superior del segmento verde - punto C- una línea horizontal h,
esa línea va a ser la que define la altura del triángulo y sabemos que su vértice superior H
 va a pasar sobre esa recta.

Hacemos centro en el origen A de coordenadas y con radio i, giramos el segmento marrón i
hasta que corte  en el punto G a una semicircunferencia c construida sobre la base f del triángulo.

Construimos la recta que pasa por GB   y la prolongamos hasta que corte a la línea horizontal h,
 en el punto H, que es el vértice superior del triángulo, con lo que queda resuelto el ejercicio.

Fundamento: se basa en que la línea I  y el segmento BG forman 90 grados por estar dentro
de una semicircunferencia,  con lo cual el segmento I será una altura del triángulo ya que es
perpendicular a GB.

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Triángulos equiláteros

Para construir un triángulo equilátero dado que el lado a, se hace centro en los extremos S K del segmento dado tomando como radio la medida del segmento. La intersección de ambas circunferencias -n,m- , determina el vértice del triángulo (el punto P).

Para construir un triángulo equilátero dada la altura h, hacemos primero un triángulo equilátero por el método anterior (dado un lado cualquiera MN perpendicular a h). A continuación marcamos la altura s en este triángulo y alineamos el vértice superior O de la altura s con el vértice superior O' de la altura dada h. Alineamos también el vértice J de la base del segmento dado s con el vértice de la base de h, esto es J'. En la intersección de las dos líneas a c obtenemos el vértice V, centro de la homotecia que transforma un triángulo en el otro: hacemos por J' una recta paralela a M N obteniendo la base del nuevo triángulo , en la intersección de esta recta con los dos rayos a, b, que son las líneas que pasan por V y MN obtenemos los vértices M'N'.

Triángulos isósceles

Para calcular un triángulo isósceles dados dos lados iguales ab y un ángulo contiguo g a uno de ellos a, se toma el vértice de uno de los dos segmentos como centro de la circunferencia, siendo el radio el mismo segmento a. Se coloca el ángulo g a partir del extremo del segmento y donde corta a la circunferencia la prolongación de su lado r obtenemos el vértice opuesto del triángulo.

Para calcular el triángulo isósceles teniendo como datos uno de los dos ángulos iguales g (en color naranja) y la base a o segmento desigual del triángulo, se hace el ángulo simétrico del dado, la prolongación de los dos lados superiores m n de los ángulos dados genera el vértice superior V del triángulo.






Para calcular un triángulo isósceles dado uno de los lados a y el ángulo desigual g, basta con hacer una circunferencia c tomando como centro el vértice P del ángulo g y tomando como radio el lado a del triángulo. La intersección de la circunferencia c con la prolongación del otro lado simétrico del triángulo genera el vértice T que falta del triángulo.

Para calcular un triángulo isósceles dados dos lados desiguales ab, hacemos un segmento vertical c por el punto medio de uno de ellos a y tomando el extremo de este segmento M y la longitud del otro b hacemos un arco hasta que corte al segmento vertical c en el punto P que es el nuevo vértice del triángulo.

Para calcular un triángulo isósceles dado el lado a y el ángulo opuesto g, se hace por el punto medio del lado dado a un segmento perpendicular al mismo y se centra sobre un punto aleatorio P de éste el ángulo dado, de manera que la perpendicular sea la bisectriz del ángulo dado g. Haciendo por los extremos del segmento MN rectas paralelas zx a las del ángulo dado obtenemos en su intersección el vértice superior v del triángulo.

Para calcular un triángulo isósceles dado el lado a y el ángulo opuesto g podemos utilizar el arco capaz.

Colocamos en la base del ladoa el ángulo dado g y hacemos por el vértice del segmento a una recta perpendicular p hasta que corte en O a la perpendicular m por el punto medio al segmento a. Todos los triángulos que tengan como vértice un punto de la circunferencia y el segmento dado tienen el mismo ángulo g, según el arco capaz pero sólo dos son isósceles, a saber, los que corresponden a la intersección de la recta m con la circunferencia.

Para calcular un triángulo isósceles m dado el ángulo desigual g y la suma s de la altura más la base, dibujamos un triángulo isósceles cualquiera con ese ángulo g y teniendo en cuenta que todos los triángulos isósceles que tienen el mismo ángulo desigual g son todos proporcionales, transformamos la base b en un segmento vertical b' mediante dos circunferencias. A continuación aplicamos una homotecia o cambio de escala de manera que alineamos la longitud total del segmento que es suma de los dos con la longitud total que acabamos de calcular, todos los puntos están alineados.

En el dibujo las dos bases de los triángulos aparecen alineadas, casualidad altamente improbable a la hora de resolver el ejercicio.

Triángulos rectángulos

Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto. los lados que son ortogonales se llaman catetos y el otro hipotenusa.

Para calcular un triángulo rectángulo dado un lado a y el ángulo adyacente g, se prolonga el lado superior m del ángulo adyacente hasta que corte a la perpendicular p por el otro extremo V del lado dado a. En la intersección de las dos líneas m p obtenemos el vértice T del triángulo.

Para calcular un triángulo rectángulo dado por sus dos catetos ab, los unimos ortogonalmente por sus extremos y hacemos una recta c que pase por los otros dos extremos, está recta es la hipotenusa c o lado que falta del triángulo.

Para construir un triángulo rectángulo dada la altura k (1 cateto) y la diferencia de la hipotenusa menos el otro cateto h-c, colocamos ambos segmentos ortogonalmente y en sus extremos PQ incidimos una recta a por la que hacemos la mediatriz m en cuya intersección con la prolongación de h-c obtenemos el punto S, vértice del triángulo que queríamos determinar (en el dibujo en color siena).

Para calcular un triángulo rectángulo dado un cateto b y la suma de otro cateto más la hipotenusa h+a, se unen los extremos PS de los dos segmentos dados mediante una recta c en la que calculamos la mediatriz m, donde esta mediatriz corta al segmento a+h obtenemos T, que es el vértice del triángulo que queríamos calcular (en color azul).

Para calcular los triángulos rectángulos dadas la hipotenusa b y la suma a de dos catetos, hacemos una circunferencia tomando como centro C el extremo de la hipotenusa b y como radio la dimensión de la misma. El segmento correspondiente a la suma de los catetos lo colocamos a partir del centro C de la circunferencia y por su otro extremo hacemos una línea a 45° que corta a la circunferencia en dos puntos V1 V2 que son los vértices de los dos triángulos iguales.

Para calcular un triángulo rectángulo dada la hipotenusa h y la diferencia de los dos catetos c1-c2, dibujamos por el extremo P del segmento correspondiente a la diferencia de los dos catetos una línea a 45° -en color azul. Colocamos la hipotenusa a partir de un vértice de este segmento y la giramos hasta que corta a la línea a 45° en S. Al hacer la circunferencia punteada de centro O y radio OS podemos comprobar que efectivamente el segmento c1-c2 es la diferencia de los dos catetos.

Para construir un triángulo rectángulo dado un cateto c y la hipotenusa h hacemos una circunferencia con centro O en el extremo del cateto y con radio el correspondiente a la longitud h de la hipotenusa. La intersección del arco de circunferencia m con la perpendicular k al cateto por su otro extremo intercepta el vértice T del triángulo que queremos calcular, (en color azul).